Question

19．（1）设中心在原点的椭圆与双曲线2x²-2y²=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，求该椭圆的标准方程．
（2）求以椭圆3x²+13y²=39的焦点为焦点，以直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线的双曲线的标准方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆的焦点和离心率即可得到结论．
（2）根据双曲线和椭圆的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵双曲线2x²-2y²=1的离心率为$\sqrt{2}$，
∴所求椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又焦点为（±1，0），∴所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{2}$+y²=1．（4分）
（2）椭圆3x²+13y²=39可化为$\frac{x^2}{13}$+$\frac{y^2}{3}$=1，
其焦点坐标为（±$\sqrt{10}$，0），
∴所求双曲线的焦点为（±$\sqrt{10}$，0），
设双曲线方程为：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）
∵双曲线的渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{b^2}{a^2}$=$\frac{{{c^2}-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{{10-{a^2}}}{a^2}$=$\frac{1}{4}$，
∴a²=8，b²=2，
即所求的双曲线方程为：$\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{2}=1$．（12分）

点评 本题主要考查椭圆和双曲线的方程和性质，根据椭圆和双曲线焦点之间的关系建立方程关系是解决本题的关键．