Question

7．已知公比小于1的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=$\frac{2}{3}$且10a₂-3a₁=3a₃（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式：
（2）设b_n=log₃（1-S_n+1），若$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}b3}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{25}{51}$，求n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得等比数列{a_n}公比为q，把a₂、a₃用a₁表示，求得a₂，进一步求出a₁，代入等比数列的前n项和得答案，
（2）根据求得的b_n=-n-1，$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，利用“裂项求和”即可得出，$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$=$\frac{25}{51}$，解得n的值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}公比为q，
a₁=$\frac{2}{3}$，10a₂-3a₁=3a₃（n∈N^*），
∴10q=3+2q²，解得：q=$\frac{1}{3}$，q=3（舍去），
∴${a}_{n}=\frac{2}{3}•$（$\frac{2}{3}$）^n-1=2•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
（2）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n+1}]}{1-\frac{1}{3}}$=1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
b_n=log₃（1-S_n+1）=$lo{g}_{3}（\frac{1}{3}）^{n+1}$=-n-1，
$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
若$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}b3}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{n+2}$=$\frac{25}{51}$，
∴n=100．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．