Question

17．已知A（x_A，y_A）是单位圆（圆心为坐标原点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转$\frac{π}{6}$到OB交单位圆于点B（x_B，y_B），已知m＞0，若my_A-2y_B的最大值为2，则实数m的值为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设A（cosα，sinα），则B[cos（α+$\frac{π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{6}$）]，则my_A-2y_B=msinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$sin（α+θ），继而得到$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$=2，解得即可．

解答 解：因为A（x_A，y_A）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，
∴设A（cosα，sinα），则B[cos（α+$\frac{π}{6}$），sin（α+$\frac{π}{6}$）]，
即y_A=sinα，y_B=sin（α+$\frac{π}{6}$），
则my_A-2y_B=msinα-2sin（α+$\frac{π}{6}$）
=msinα-2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinα+$\frac{1}{2}$cosα）
=（m-$\sqrt{3}$）sinα-cosα
=$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$sin（α+θ），
∵m＞0，my_A-2y_B的最大值为2，
∴$\sqrt{（m-\sqrt{3}）^{2}+1}$=2，解得m=2$\sqrt{3}$．
故答案为$2\sqrt{3}$

点评 本题考查实数值的求法，解题时要注意单位圆、三角函数的性质的合理运用，属于中档题