Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB是直角，AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E、F分别为PC、CD的中点．
（Ⅰ）试证：AB⊥平面BEF；
（Ⅱ）若V_C-BEF=1，求PA的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲证AB⊥平面BEF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AB与平面BEF内两相交直线垂直，而AB⊥BF．根据面面垂直的性质可知AB⊥EF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）利用体积公式，结合V_C-BEF=1，求PA的长．

解答 （Ⅰ）证明：由已知DF∥AB且∠DAB为直角，
故ABFD是矩形，从而AB⊥BF．
又PA⊥底面ABCD，
所以平面PAD⊥平面ABCD，
因为AB⊥AD，故AB⊥平面PAD，
所以AB⊥PD，
在△PDC内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，所以AB⊥EF．
由此得AB⊥平面BEF．
（Ⅱ）因为V_C-BEF=1，
所以$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×\frac{1}{2}PA$=1，
所以PA=6．

点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系、三棱锥体积的计算等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．