Question

3．已知抛物线y²=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，则|AB|=16．

Answer 1

分析 设AB方程y=k（x-1），与抛物线方程y²=4x联立，利用tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，建立k的方程，求出k，即可得出结论．

解答 解：焦点F（1，0），M（-1，0），设AB方程y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵tan∠AMB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=$\frac{4}{3}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=$\frac{4}{3}$（x₁+1）（x₂+1）+$\frac{4}{3}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），与y²=4x联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=$\frac{4}{3}$•$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴x₁-x₂=$\frac{8}{3{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{8}{3{k}^{3}}$）²，
∴k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2=14，
∴|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{196-4}$=16．
故答案为：16．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查差角的正切公式，正确运用韦达定理是关键．