Question

9．棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，沿平面A₁ACC₁将正方体分成两部分，其中一部分如图所示，过直线A₁C的平面A₁CM与线段BB₁交于点M．
（Ⅰ）当M与B₁重合时，求证：MC⊥AC₁；
（Ⅱ）当平面A₁CM⊥平面A₁ACC₁时，求平面A₁CM分几何体所得两部分体积之比．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥平面BCC₁B₁可得AB⊥B₁C，又B₁C⊥BC₁，故而B₁C⊥平面ABC₁，于是B₁C⊥AC₁；
（II）当M为B₁B中点，分别取A₁C、AC中点N、P，连结MN、NP、PB，则可证四边形四边形PBMN是平行四边形，由面面垂直可得BP⊥平面A₁ACC₁，从而MN⊥平面A₁ACC₁，故平面MA₁C⊥平面A₁ACC₁．于是M为B₁B中点．分别计算被平面MA₁C分成的两个四棱锥的体积，得出体积比．

解答 解：（Ⅰ）连接C₁B

∵正方形B₁BCC₁中，∴BC₁⊥B₁C，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∵AB⊥平面B₁BCC₁，B₁C∈平面B₁BCC₁，
∴AB⊥B₁C，又AB?平面ABC₁，BC₁?平面ABC₁，AB∩BC₁=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，∵AC₁?平面ABC₁，
∴BC⊥AC₁，即MC⊥AC₁．
（Ⅱ）当M为B₁B中点时，
分别取A₁C、AC中点N、P，连结MN、NP、PB

则MB∥A₁A∥NP，且$MB=NP=\frac{1}{2}{A_1}A$，
∴四边形MBPN为平行四边形，∴MN∥PB，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，PB⊥AC，
∴BP⊥平面A₁ACC₁，
∴MN⊥平面A₁ACC₁，∵MN?平面M₁AC，
∴平面MA₁C⊥平面A₁ACC₁．
设AB=a，
∴V${\;}_{四棱锥{A}_{1}-MC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形MC{C}_{1}{B}_{1}}•{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+\frac{a}{2}）×a×a$=$\frac{1}{4}{a}^{3}$，
V${\;}_{四棱锥C-ABM{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABM{A}_{1}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（a+\frac{a}{2}）×a×a$=$\frac{1}{4}{a}^{3}$．
∴V${\;}_{四棱锥{A}_{1}-MC{C}_{1}{B}_{1}}$：V${\;}_{四棱锥C-ABM{A}_{1}}$=1：1．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．