Question

1．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；
（Ⅱ）当三棱锥F-ABE体积最大时，求钝二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面平行的性质定理证明平面ABE∥平面DFC即可证明AB∥平面DFC；
（Ⅱ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可钝二面角B-AC-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：∵角梯形ABCD中，BE∥CF，AE∥DF，
且DF∩DF=F，
∴平面ABE∥平面DFC，
∵AB?平面ABE，
∴AB∥平面DFC；
（Ⅱ）当三棱锥F-ABE体积最大时，∵EF=2是定值，
∴只需要△ABE的面积最大即可，
即S=$\frac{1}{2}$AE•BE最大，
∵AE+BE=2，
∴S=$\frac{1}{2}$AE•BE$＜\frac{1}{2}$•（$\frac{AE+BE}{2}$）²=$\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2}$，当且仅当AE=BE=1时，取等号，
即此时E是AB的中点，
建立以F为坐标原点，FE，FD，FC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
则F（0，0，0），B（2，0，1），A（2，1，0），D（0，1，0），C（0，0，3），
则$\overrightarrow{AC}$=（-2，-1，3），$\overrightarrow{AB}$=（0，-1，1）.$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），
设平面ABC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），ACD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-y+z=0}\end{array}\right.$，
令z=1，则y=1=，x=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x-y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=-2x=0}\end{array}\right.$，则令z=1，x=0，y=3，
即$\overrightarrow{n}$=（0，3，1），
则cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+1}{\sqrt{3}•\sqrt{9+1}}=\frac{4}{\sqrt{3}•\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{30}}{15}$，
∴钝二面角B-AC-D的余弦值-$\frac{\sqrt{30}}{15}$．

点评 本题主要考查线面平行的判断，以及二面角的求解，利用面面平行的性质定理以及建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求二面角是解决本题的关键．考查学生的运算能力．