Question

12．过点A（0，1）作直线，与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 无数

Answer 1

分析 用代数法，先联立方程，消元后得到一个方程，先研究相切的情况，即判别式等于零，再研究与渐近线平行的情况．

解答 解：设过点（0，1）与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点的直线为y=kx+1．
根据题意：$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理得（9-k²）x²-2kx-10=0，
∵△=0，
∴k=±$\sqrt{10}$．
又注意直线恒过点（0，1）且渐近线的斜率为±3，
与渐近线平行时也成立．
故过点（0，1）与双曲线${x^2}-\frac{y^2}{9}=1$有且只有一个公共点的直线有4条．
故选C．

点评 本题主要考查直线与双曲线的位置关系，在只有一个公共点时，不要忽视了与渐近线平行的情况．