Question

2．已知点F是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦点，点E是该双曲线的右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是直角三角形，则该双曲线的离心率为1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用双曲线的对称性及直角三角形，可得∠AEF=45°，从而|AF|=|EF|，求出|AF|，|EF|，得到关于a，b，c的等式，即可求出离心率的值和渐近线方程．

解答 解：∵△ABE是直角三角形，∴∠AEB为直角，
∵双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，
∴∠AEF=∠BEF=45°，
∴|AF|=|EF|，
∵F为左焦点，设其坐标为（-c，0），
令x=-c，则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则有y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴|AF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，∴|EF|=2c，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=2c
∴b²=2ac，
即c²-a²=2ac，
即∴e²-2e-1=0，
∵e＞1，∴e=1+$\sqrt{2}$，
故答案为：1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的三参数关系：c²=a²+b²、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题．