Question

17．如图所示，A，B，C是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的三个点，AB经过坐标原点O，AC经过双曲线的右焦点F，若BF⊥AC，且|$\overrightarrow{AF}$|=a，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• B． $\sqrt{10}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 利用双曲线的定义，推出a、b、c关系，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：设双曲线的左焦点为F₁，则四边形F₁BFA是矩形，由|AF|=a，|AF₁|-|AF|=2a，
可得|AF₁|=3a．又|AF|=|BF₁|=a，
在直角三角形BF₁F中，（3a）²+a²=4c²，解得e=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．