Question

6．一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

• A． 20π
• B． $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$
• C． 5π
• D． $\frac{{5\sqrt{5}π}}{6}$

Answer 1

分析 作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，球心为O，一个顶点为A，如右图．可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA，再用球的体积公式即可得到外接球的体积．

解答 解：作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则球心O是O₁，O₂的中点．
∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，
∴Rt△AO₁O中，AO₁=1，O₁O=$\frac{1}{2}$，可得AO=$\sqrt{{1}^{2}+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
因此，该球的体积为V=$\frac{4}{3}$π•（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）³=$\frac{5\sqrt{5}π}{6}$．
故选：D．

点评 本题给出一个正六棱柱，求它的外接球的体积，着重考查了球的内接多面体和球体积公式等知识点，属于中档题．