Question

1．若正四棱锥的侧棱长为$\sqrt{3}$，侧面与底面所成的角是45°，则该正四棱锥的体积是（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 作出棱锥的高与斜高，得出侧面与底面所成角的平面角，利用勾股定理列方程解出底面边长，代入体积公式计算．

解答 解：过棱锥定点S作SE⊥AD，SO⊥平面ABCD，则E为AD的中点，O为正方形ABCD的中心．
连结OE，则∠SEO为侧面SAD与底面ABCD所成角的平面角，即∠SEO=45°．
设正四棱锥的底面边长为a，则AE=OE=SO=$\frac{a}{2}$，
∴SE=$\sqrt{2}EO$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．
在Rt△SAE中，∵SA²=AE²+SE²，
∴3=$\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{2}$，解得a=2．
∴SO=1，
∴棱锥的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•SO$=$\frac{1}{3}×{2}^{2}×1=\frac{4}{3}$．
故选B．

点评 本题考查了正棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题．