Question

16．设点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$上一点，F₁，F₂分别是左右焦点，I是△PF₁F₂的内心，若△IPF₁，△IPF₂，△IF₁F₂的面积S₁，S₂，S₃满足2（S₁-S₂）=S₃，则双曲线的离心率为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． 4
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先根据题意作出示意图，如图所示，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S₁-S₂）=S₃，化简可得|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．

解答 解：如图，设圆I与△PF₁F₂的三边F₁F₂、PF₁
PF₂分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，
则IE⊥F₁F₂，IF⊥PF₁，IG⊥PF₂，

它们分别是△IF₁F₂，△IPF₁，△IPF₂的高，
∴S₁=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|IF|=$\frac{1}{2}$|PF₁|r，
S₂=$\frac{1}{2}$|PF₂|•|IG|=$\frac{1}{2}$|PF₂|r，
S₃=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|IE|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|r，
其中r是△PF₁F₂的内切圆的半径．
∵S₁-S₂=$\frac{1}{2}$S₃，
∴$\frac{r}{2}$|PF₁|-$\frac{r}{2}$|PF₂|=$\frac{r}{4}$|F₁F₂|，
两边约去$\frac{r}{2}$得：|PF₁|-|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，
根据双曲线定义，得|PF₁|-|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c，
∴2a=c⇒离心率为e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：A．

点评 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题．