Question

5．如图，已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且$α∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{6}}]$，则该双曲线离心率e的取值范围为（　　）

• A． $[{\sqrt{2}，\sqrt{3}+1}]$
• B． $[{\sqrt{3}，2+\sqrt{3}}]$
• C． $[{\sqrt{2}，2+\sqrt{3}}]$
• D． $[{\sqrt{3}，\sqrt{3}+1}]$

Answer 1

分析 运用锐角三角函数的定义可得，|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得2c|cosα-sinα|=2a，由离心率公式和三角函数的辅助角公式，结合余弦函数的性质，即可得到所求范围．

解答 解：在Rt△ABF中，|OF|=c，
∴|AB|=2c，
在直角三角形ABF中，∠ABF=α，可得|AF|=2csinα，|BF|=2ccosα，
取左焦点F'，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，
∴||BF|-|AF||=|AF'|-|AF|=2c|cosα-sinα|=2a，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{|cosα-sinα|}=\frac{1}{{\sqrt{2}|cos（α+\frac{π}{4}）|}}$，
∵$\frac{π}{12}≤α≤\frac{π}{6}，\;∴\frac{π}{3}≤α+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{12}$，
∴$cos（α+\frac{π}{4}）∈[\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}，\frac{1}{2}]，\;\sqrt{2}|cos（α+\frac{π}{4}）|∈[\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，
∴$e∈[\sqrt{2}，\sqrt{3}+1]$，
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．