Question

15．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{5}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意求出SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O，A，B的平面与SC垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥S-ABC的体积．

解答 解：如图由题意△ASC，△BSC均为等腰直角三角形，则SA=AC=SB=BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠SOA=∠SOB=90°，∴SC⊥平面ABO．
又AB=2，△ABO为正三角形，则S△ABO=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
进而可得：V _S-ABC=V _C-AOB+V _S-AOB=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×4$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：C．

点评 本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC⊥平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法．