Question

6．如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形（矩形的一个边在三角形的边上），并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面．问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？

Answer 1

分析 假设正三角形边长为a，EF=x，用x表示出GF，分两种情况计算圆柱的体积V（x），利用导数与函数最值得关系求出V（x）的极大值和极大值点，得出结论．

解答 解：设正三角形长为a，设EF=x，则BF=$\frac{x}{\sqrt{3}}$，GF=a-$\frac{2x}{\sqrt{3}}$．
（1）若以EF为底、GF为高，则圆柱底面半径r=$\frac{x}{2π}$，
V（x）=πr²•GF=π（$\frac{x}{2π}$）²（a-$\frac{2x}{\sqrt{3}}$）=$\frac{1}{4π}$（ax²-$\frac{2{x}^{3}}{\sqrt{3}}$），0＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
∴V′=$\frac{1}{4π}$（2ax-2$\sqrt{3}$x²）=-$\frac{x}{2π}$（$\sqrt{3}$x-a）．
当0＜x＜$\frac{a}{\sqrt{3}}$时，V′＞0；当$\frac{a}{\sqrt{3}}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$时，V′＜0；
∴当x=$\frac{a}{\sqrt{3}}$时，V（x）取得最小值V（$\frac{a}{\sqrt{3}}$）=$\frac{{a}^{3}}{36π}$．
（2）若以GF为底、EF为高，则圆柱底面半径r=$\frac{a-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{2π}$．
V（x）=πr²•EF=π（$\frac{a-\frac{2x}{\sqrt{3}}}{2π}$）²x=$\frac{1}{4π}$（$\frac{4{x}^{3}}{3}$-$\frac{4a{x}^{2}}{\sqrt{3}}$+a²x），0＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
V′（x）=$\frac{1}{4π}$（4x²-$\frac{8ax}{\sqrt{3}}$+a²），
令V′（x）=0，得x₁=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$、x₂=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
当0＜x＜$\frac{a}{2\sqrt{3}}$时，V′（x）＞0；当$\frac{a}{2\sqrt{3}}$＜x＜$\frac{\sqrt{3}a}{2}$时，V′（x）＜0；
∴当x=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$时，V（x）取得最大值V（$\frac{a}{2\sqrt{3}}$）=$\frac{{a}^{3}}{18\sqrt{3}π}$．
∵$\frac{{a}^{3}}{18\sqrt{3}π}$＞$\frac{{a}^{3}}{36π}$，
∴以GF为底、EF为高，且EF=$\frac{a}{2\sqrt{3}}$时，体积最大．

点评 本题考查了圆柱的结构特征，利用导数求函数的极值，属于中档题．