Question

11．已知O为坐标原点，F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是双曲线右支上一点，PM为∠F₁PF₂的角平分线，过F₁作PM的垂线交PM于点M，则|OM|的长度为（　　）

• A． a
• B． b
• C． $\frac{a}{2}$
• D． $\frac{b}{2}$

Answer 1

分析 先画出双曲线和焦点三角形，由题意可知PM是TF₁的中垂线，再利用双曲线的定义，数形结合即可得结论．

解答 解：依题意如图，延长F₁M，交PF₂于点T，
∵PM是∠F₁PF₂的角分线．TF₁是PM的垂线，
∴PM是TF₁的中垂线，∴|PF₁|=|PT|，
∵P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1上一点，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|TF₂|=2a，
在三角形F₁F₂T中，MO是中位线，
∴|OM|=a． 
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的定义的运用以及双曲线标准方程的意义，解题时要善于运用曲线定义，数形结合的思想解决问题．