Question

20．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），F是右焦点，过F作双曲线C在第一、第三象限渐近线的垂线l，若l与双曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，+∞）
• B． （$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （2，+∞）
• D． （$\sqrt{5}$，+∞）

Answer 1

分析 求得双曲线的渐近线方程和直线l的方程，代入双曲线的方程，可得x的二次方程，运用韦达定理，由题意可得x₁x₂＜0，整理后即可求得a和c的不等式关系，求得离心率的范围．

解答 解：由双曲线方程可得在第一、第三象限渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，右焦点F（c，0），
可得直线l的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，消去y得（b⁴-a⁴）x²+2a⁴cx-a²（a²c²+b⁴）=0，
设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=$\frac{2{a}^{4}c}{{a}^{4}-{b}^{4}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}{c}^{2}+{b}^{4}）}{{a}^{4}-{b}^{4}}$，
由题意可得x₁x₂＜0，
∴b⁴＞a⁴即b＞a，
由c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$＞$\sqrt{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$＞$\sqrt{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质，涉及了双曲线方程中a，b和c的关系，渐近线问题，离心率问题，考查运算能力，属于中档题．