Question

19．已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，a₁=$\frac{1}{2}$，求a_n．

Answer 1

分析 由题意可得a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再用累加法求解．

解答 解：∵a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，
∴a_n+1-a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴a₂-a₁=1-$\frac{1}{2}$，
a₃-a₂=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，
…
a_n-a_n-1=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
累加可得a_n-a₁=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n}$，
∴a_n=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了累加法求数列的通项公式，以及裂项求和，属于中档题．