Question

4．以直线y=$±\sqrt{3}$x为渐近线的双曲线的离心率为2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线的方程$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，再利用c²=a²+b²，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得．

解答 解：设双曲线的实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c，
则c²=a²+b²，e=$\frac{c}{a}$，
∵双曲线的渐近线为y=±$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，或$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=3或$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=3，
∴c²=4a²或3c²=4a²，
∴e²=4或e²=$\frac{4}{3}$，
∴e=2或e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：2或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的意义以及双曲线离心率的求法，属于中档题．