Question

14．已知（1+px）（1-x+x²）⁸的展开式中x⁴项的系数是42，则p的值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先利用通项公式求出（1-x+x²）⁸展开式中x⁴项与x³项的系数是什么，
再求（1+px）（1-x+x²）⁸的展开式中x⁴项的系数，列出方程求p的值．

解答 解：∵（1-x+x²）⁸=[1+（x²-x）]⁸，
其展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•（x²-x）^r；
当r=0、1时，展开式中x⁴项与x³项不存在；
当r=2时，展开式中x⁴项的系数是${C}_{8}^{2}$，x³项的系数是${C}_{8}^{2}$•（-${C}_{2}^{1}$）；
当r=3时，展开式中x⁴项的系数是${C}_{8}^{3}$•${C}_{3}^{2}$，x³项的系数是${C}_{8}^{3}$•（-${C}_{3}^{3}$）；
当r=4时，展开式中x⁴项的系数是${C}_{8}^{4}$•${C}_{4}^{4}$，x³项不存在；
当r=5、6、7、8时，展开式中x⁴项与x³项不存在；
∴（1+px）（1-x+x²）⁸的展开式中x⁴项的系数是
（${C}_{8}^{2}$+${C}_{8}^{3}$•${C}_{3}^{2}$+${C}_{8}^{4}$）+[${C}_{8}^{2}$•（-${C}_{2}^{1}$）+${C}_{8}^{3}$•（-1）]p=42，
解得p=2．
故选：B．

点评 本题考查了二项式定理以及二项式展开式中通项公式的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．