Question

10．点P为双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$右支上第一象限内的一点，其右焦点为F₂，若直线PF₂的斜率为$\sqrt{3}$，M为线段PF₂的中点，且|OF₂|=|F₂M|，则该双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 设|PF₂|=t，则|OF₂|=|F₂M|=$\frac{1}{2}$t=c，求得直线PF₂的倾斜角为60°，由三角函数的定义，可得P（2c，$\sqrt{3}$c），代入双曲线的方程，运用a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：设|PF₂|=t，则|OF₂|=|F₂M|=$\frac{1}{2}$t=c，
即t=2c，由直线PF₂的斜率为$\sqrt{3}$，可得
直线PF₂的倾斜角为60°，
可得P（c+2ccos60°，2csin60°），
即为P（2c，$\sqrt{3}$c），代入双曲线的方程可得
$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
由b²=c²-a²，e=$\frac{c}{a}$，可得4e²-$\frac{3{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=1，
化为4e⁴-8e²+1=0，
解得e²=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$（$\frac{4-2\sqrt{3}}{4}$舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用三角函数的定义和点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．