Question

19．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与函数y=$\sqrt{x}$（x≥0）的图象交于点P，若函数y=$\sqrt{x}$的图象与点P处的切线过双曲线左焦点F（-4，0），则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}+4}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{17}+3}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{17}+2}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{17}+1}{4}$

Answer 1

分析 设P的坐标为（m，$\sqrt{m}$），求函数导数，利用导数的几何意义以及切线斜率公式建立方程关系求出m=4，根据双曲线的定义求出a，c即可．

解答 解：设P的坐标为（m，$\sqrt{m}$），左焦点F（-4，0），
函数的导数f′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，则在P处的切线斜率k=f′（m）=$\frac{1}{2\sqrt{m}}$=$\frac{\sqrt{m}}{m+4}$，
即m+4=2m，得m=4，
则P（4，2），设右焦点为A（4，0），
则2a=|PF|-|PA|=$\sqrt{64+4}-\sqrt{0+4}$=2（$\sqrt{17}-1$），
即a=$\sqrt{17}-1$，
∵c=4，
∴双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{17}+1}{4}$，
故选：D

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，根据导数的几何意义，建立切线斜率关系，求出a，c是解决本题的关键．考查运算能力．