Question

8．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点（0，2），M为抛物线上的一个动点，则M到直线1₁：5x-4y+4=0和l₂：x=-$\frac{2}{5}$的距离之和的最小值为（　　）

• A． $\frac{6\sqrt{41}}{41}$
• B． $\frac{6\sqrt{31}}{31}$
• C． $\frac{3\sqrt{41}}{41}$
• D． $\frac{3\sqrt{31}}{31}$

Answer 1

分析 可以求出抛物线的焦点坐标，从而可以写出弦AB所在直线方程为y=x-$\frac{p}{2}$，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程和抛物线方程联立消去x可得到关于y的一元二次方程，由韦达定理即可求出弦AB的中点坐标为（$\frac{3p}{2}$，p），而弦AB的垂直平分线方程可写出为y-2=-x，弦中点坐标带入该方程便可求出p的值．过点M分别作MB⊥l₁，MA⊥l₂，垂足分别为B，A．由抛物线的定义可得|MA|=|MF|，求|MA|+|MB|转化为求|MB|+|MF|，当三点M，B，F共线时，|MB|+|MF|取得最小值．利用点到直线的距离公式求解即可．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），过焦点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线方程为：y=x-$\frac{p}{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$得，y²-2py-p²=0；
∴y₁+y₂=2p，x₁+x₂=3p；
∴弦AB的中点坐标为（$\frac{3p}{2}$，p）
弦AB的垂直平分线方程为y-2=-x，弦AB的中点在该直线上；
∴p-2=-$\frac{3p}{2}$，解得p=$\frac{4}{5}$．
（2）过点M分别作MB⊥l₁，MA⊥l₂，垂足分别为B，A．l₂：x=-$\frac{2}{5}$是抛物线y²=$\frac{8}{5}$x的准线方程．
抛物线y²=$\frac{8}{5}$x的焦点为F（$\frac{2}{5}$，0），
由抛物线的定义可得|MA|=|MF|，
∴|MA|+|MB|=|MB|+|MF|，当三点M，B，F共线时，|MA|+|MB|取得最小值．
其最小值为点F到直线l₁的距离$\frac{6}{\sqrt{25+16}}$=$\frac{6\sqrt{41}}{41}$．
故选：A．

点评 考查抛物线的标准方程、定义及其性质、三点共线、点到直线的距离公式，考查转化思想的应用，属于中档题．