Question

3．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=4x的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，则△AOB的面积为（　　）

• A． 2
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，抛物线的准线方程x=-1，解得交点A，B，运用离心率公式和a，b，c的关系，化简即可得到求得三角形的面积．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
抛物线y²=4x的准线为x=-1，
可得A（-1，$\frac{b}{a}$），B（-1，-$\frac{b}{a}$），
即有△AOB的面积为$\frac{1}{2}$•1•$\frac{2b}{a}$=$\frac{b}{a}$，
由e=$\frac{c}{a}$=2，即c=2a，
b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，
则△AOB的面积为$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率公式的运用，同时考查抛物线的准线方程，属于基础题．