Question

13．过双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的一个焦点F作双曲线的一条渐近线的垂线，若垂线的延长线与y轴的交点坐标为$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 设双曲线的一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得b=2a，再由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线的一个焦点F（c，0），一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
∵垂线的延长线与y轴的交点坐标为A$（0\;，\;\;\frac{c}{2}）$，
∴由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得$\frac{b}{a}$•$\frac{\frac{c}{2}-0}{-c}$=-1，
即b=2a，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：D

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的焦点和渐近线方程、两直线垂直的条件以及离心率公式，考查运算能力．