Question

4．已知l是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的一条渐近线，P是l上的一点，F₁，F₂是C的两个焦点，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则P到x轴的距离为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，$\sqrt{2}$m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=2，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
即有F₁（-$\sqrt{6}$，0），F₂（$\sqrt{6}$，0），
设渐近线l的方程为y=$\sqrt{2}$x，且P（m，$\sqrt{2}$m），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\sqrt{6}$-m，-$\sqrt{2}$m）•（$\sqrt{6}$-m，-$\sqrt{2}$m）
=（-$\sqrt{6}$-m）（$\sqrt{6}$-m）+（-$\sqrt{2}$m）²=0，
化为3m²-6=0，
解得m=±$\sqrt{2}$，
则P到x轴的距离为$\sqrt{2}$|m|=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点和渐近线方程的运用，考查向量的数量积的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．