Question

9．已知点P在双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{16}$=1的右支上，F为双曲线的左焦点，Q为线段PF的中点，O为坐标原点．若|OQ|的最小值为1，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{17}{15}$
• B． $\frac{15}{17}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF'|，由题意可得|PF'|的最小值为2，由PF'的最小值为c-a，解方程可得a=3，求出c=5，由离心率公式即可得到所求值．

解答 解：取F'为双曲线的右焦点，连接PF'，由OQ为△PFF'的中位线，即有|OQ|=$\frac{1}{2}$|PF'|，
由题意可得|PF'|的最小值为2，
由PF'的最小值为c-a=$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a，
即有$\sqrt{{a}^{2}+16}$-a=2，
解得a=3，
可得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，
即有c=$\sqrt{9+16}$=5，
可得离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，考查定义法的运用，考查中位线定理和化简运算的能力，属于中档题．