Question

19．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$以及双曲线$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的渐近线将第一象限三等分，则双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞0，b＞0）$的离心率为（　　）

• A． 2或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{6}$或$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． 2或$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{3}$或$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由双曲线的渐近线的方程可得$\frac{b}{a}$=tan30°或$\frac{b}{a}$=tan60°，即为b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，利用c²=a²+b²，将所得等式转化为关于离心率的方程即可解得离心率．

解答 解：双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
双曲线C₂：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
由渐近线将第一象限三等分，可得：$\frac{b}{a}$=tan30°或$\frac{b}{a}$=tan60°，
即为b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a或b=$\sqrt{3}$a，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a或c=2a，
即e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或e=2．
故选：A．

点评 本题考查了双曲线的几何性质，双曲线的渐近线方程的运用以及双曲线离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．