Question

14．已知倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，M（4，2）是弦AB的中点，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．

解答 解：∵倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，
∴直线的斜率k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，①；
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，②，
①-②得$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{（x}_{1}{+x}_{2}）}{{a}^{2}}$=$\frac{{（y}_{1}{-y}_{2}）{（y}_{1}{+y}_{2}）}{{b}^{2}}$，
则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$
∵M（4，2）是AB的中点，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
∵直线l的斜率为$\sqrt{3}$，
∴$\sqrt{3}$=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$•$\frac{8}{4}$，
即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则b²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
c²=a²+b²=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）a²，
∴e²=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$=（$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$）²．
则e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，利用“设而不求”法结合点差法以及求直线l的斜率解决本题的关键．