Question

3．已知直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=2，DC=3，E为AB的中点，将四边形AEFD沿EF折起使面AEFD⊥面EBCF，过E作EF∥AD，
（1）若G为DF的中点，求证：EG∥面BCD；
（2）若AD=2，试求多面体AD-BCFE体积．

Answer 1

分析 （1）翻折前，有直角梯形的性质可知四边形AEFD是矩形，得出DF，FC的长，翻折后，取DC的中点H，连接GH，BH，则可证四边形EGHB是平行四边形，得出EG∥BH，故EG∥面BCD；
（2）将多面体分解成四棱锥B-AEFD和三棱锥D-BCF，分别计算两个棱锥的体积．

解答 证明：（1）在直角梯形ABCD中，
∵E是AB中点，∴AE=EB=$\frac{1}{2}AB=1$，
∵EF∥AD，AD⊥AB，AB∥DC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴DF=AE=1，CF=CD-DF=2．
翻折后，取DC的中点H，连接GH，BH，
则$GH∥FC，GH=\frac{1}{2}FC$=1，
∵EB=1，EB∥CF，
∴GH=EB，且GH∥EB，
∴四边形EGHB为平行四边形，
∴EG∥BH，∵BH?面BDC，EG?平面BCD，
∴EG∥面BDC．
（2）平面ADEF⊥平面BEFC，平面ADEF∩平面BEFC=EF，BE⊥EF，DF⊥EF，
∴BE⊥平面AEFD，DF⊥平面BCFE，
∴V_B-AEFD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形AEFD}•BE$=$\frac{1}{3}×1×2×1=\frac{2}{3}$，
V_D-BCF=$\frac{1}{3}{S}_{△BCF}•DF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×1=\frac{2}{3}$，
∴几何体AD-BCFE的体积V=V_B-AEFD+V_D-BCF=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．