Question

13．已知双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）经过抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点，且双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，则双曲线C₁的离心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点坐标和准线方程，可得p=2a，求得双曲线的渐近线方程，联立准线方程，可得等边三角形的边长和高，可得a=$\sqrt{3}$b，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线C₂：y²=2px（p＞0）的焦点为（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得a=$\frac{p}{2}$，
双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
抛物线的准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
代入渐近线方程可得交点为（-a，b），（-a，-b），
由双曲线的渐近线与抛物线的准线围成一个等边三角形，
可得边长为2b，高为a，
即有a=$\sqrt{3}$b，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和抛物线的焦点和准线方程，考查运算能力，属于中档题．