Question

2．已知物物线x²=4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x²=4y的两条切线，切点分别为A、B．
（I）求证：PA⊥PB；
（2）求$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$-$\overrightarrow{PF}$²的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A，B的坐标，求出原函数的导函数，利用导数相等列式得到a²-2an-4=0，b²-2bn-4=0．从而得到a，b是方程x²-2nx-4=0的两根，则答案得证；
（2）求出$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{PF}$²，作差后得答案．

解答 （1）证明：准线l的方程为：y=-1，F（0，1），
设P（n，-1），A（a，$\frac{{a}^{2}}{4}$），B（b，$\frac{{b}^{2}}{4}$），
∵x²=4y，∴y=$\frac{1}{4}$x²，∴$y′=\frac{1}{2}x$．
∴k_PA=$\frac{a}{2}$=$\frac{\frac{{a}^{2}}{4}+1}{a-n}$，即a²-2an-4=0．k_PB=$\frac{b}{2}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{4}+1}{b-n}$，即b²-2bn-4=0．
∴a，b是方程x²-2nx-4=0的两根．
则ab=-4．即$\frac{a}{2}•\frac{b}{2}$=-1．
∴PA⊥PB；
（2）解：$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$=（-a，1-$\frac{{a}^{2}}{4}$）•（b，$\frac{{b}^{2}}{4}$-1）=-ab-$\frac{（{a}^{2}-4）（{b}^{2}-4）}{16}$=n²+4．
$\overrightarrow{PF}$=（-n，2），$\overrightarrow{PF}$²=n²+4
∴$\overrightarrow{AF}$$•\overrightarrow{FB}$-$\overrightarrow{PF}$²=0．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了平面向量在解题中的应用，综合考查了学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，是压轴题．