Question

10．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点（4，0）作直线l交抛物线于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点O．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线上的定点M（1，$\sqrt{2p}$）作两条关于直线x=1对称的直线，分别交抛物线于C，D两点，连接CD，试问：直线CD的斜率是否为定值？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可表示出y₁y₂=-8p，y₁+y₂=2pm，进而利用直线方程表示出x₁x₂，根据AO⊥BO，推断出x₁x₂+y₁y₂=0，则p的值可得，进而求得抛物线的方程；
（2）设直线MC的斜率为k，MD的斜率为-k，可得直线MC．MD的方程，与抛物线方程联立求得交点坐标，进而可求斜率，从而可得结论．

解答 解：（1）依题意可设直线l的方程为x=my+4，代入抛物线方程得y²-2pmx-8p=0，
由韦达定理得y₁y₂=-8p，y₁+y₂=2pm．
∴x₁x₂=（my₁+4）（my₂+4）=16．
∵AO⊥BO，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴p=2，
∴抛物线C为：y²=4x．
（2）由题意，M（1，2）．设直线MC的斜率为k，MD的斜率为-k，
则直线MC的方程为y-2=k（x-1），即y=kx-（k-2）
联立方程消去y，得：k²x²-2k²x+（k-2）²=0             
∵x_Mx_C=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，M（1，2），
∴x_C=$\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}$，∴y_C=-2+$\frac{4}{k}$
同理，得x_D=$\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}$，y_D=-2-$\frac{4}{k}$
∴k_CD=$\frac{-2-\frac{4}{k}+2-\frac{4}{k}}{\frac{（k+2）^{2}}{{k}^{2}}-\frac{（k-2）^{2}}{{k}^{2}}}$=-1一个与k无关的定值．

点评 本题主要考查了抛物线的方程与简单性质．直线与圆锥曲线的综合问题．考查了基本的分析问题的能力和基础的运算能力．