Question

12．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两条渐近线与抛物线y²=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，且△AOB的面积为$\sqrt{3}$，则△AOB的内切圆的半径为2$\sqrt{3}$-3．

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率求出a，b的关系，和渐近线，结合双曲线和抛物线的相交关系求出A，B的坐标，建立方程关系，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=2，得$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$，即双曲线渐近线为y=±$\sqrt{3}$x，
联立x=-$\frac{p}{2}$ 解得A（-$\frac{p}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$p），B（-$\frac{p}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$p），
所以S_△AOB=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}p×\frac{p}{2}$=$\sqrt{3}$，
解得p=2，所以A（-1，$\sqrt{3}$），B（-1，-$\sqrt{3}$），
 所以△AOB三边长为2，2，2$\sqrt{3}$，
设△AOB内切圆半径为r，由$\frac{1}{2}$（2+2+2$\sqrt{3}$）r=$\sqrt{3}$，
解得r=2$\sqrt{3}$-3．
故答案为：2$\sqrt{3}$-3

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，结合双曲线和抛物线的关系结合三角形的面积公式建立方程是解决本题的关键．