Question

7．在三棱柱ABC-A₁B_lC₁中，已知侧棱与底面垂直，∠CAB=90°，且AC=1，AB=2，E为BB₁的中点，M为AC上一点，AM=$\frac{2}{3}$AC．
（I）若三棱锥A₁-C₁ME的体积为$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$，求AA₁的长；
（Ⅱ）证明：CB₁∥平面A₁EM．

Answer 1

分析 （I）由A₁A⊥AB，AC⊥AB可知AB⊥平面ACC₁A₁，故E到平面ACC₁A₁的距离等于AB，于是VV${\;}_{{A}_{1}-{C}_{1}ME}$=V${\;}_{E-{A}_{1}{C}_{1}M}$，根据体积列出方程解出A₁A；
（II）连结AB₁交A₁E于F，连结MF，由矩形知识可知AF=$\frac{2}{3}A{B}_{1}$，故MF∥CB₁，所以CB₁∥平面A₁EM．

解答 解：（I）∵A₁A⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴A₁A⊥AB，又A₁A⊥AC，A₁A?平面ACC₁A₁，AC?平面ACC₁A₁，A₁A∩AC=A，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∵BB₁∥平面ACC₁A₁，
∴V${\;}_{{A}_{1}-{C}_{1}ME}$=V${\;}_{E-{A}_{1}{C}_{1}M}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}M}•AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}{C}_{1}×{A}_{1}A×AB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×{A}_{1}A×2$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴A₁A=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（II）连结AB₁交A₁E于F，连结MF，
∵E是B₁B的中点，
∴AF=$\frac{2}{3}A{B}_{1}$，又AM=$\frac{2}{3}AC$，
∴MF∥CB₁，又MF?平面A₁ME，CB₁?平面A₁ME
∴CB₁∥平面A₁EM．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．