Question

15．已知F₁、F₂分别是双曲线C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F₁的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F₁P|、|F₂P|、|F₁Q|成等差数列，且∠F₁PF₂=120°，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 设|F₁P|=m，运用双曲线的定义和等差数列的中项的性质可得|F₂P|=m+2a，|F₁Q|=4a+m，|PQ|=4a，由条件可得△QPF₂为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F₁PF₂中，由余弦定理可得c=$\sqrt{7}$a，由离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设|F₁P|=m，由双曲线的定义可得|F₂P|=|F₁P|+2a=m+2a，
由|F₁P|、|F₂P|、|F₁Q|成等差数列，可得2|F₂P|=|F₁P|+|F₁Q|，
即有|F₁Q|=2（2a+m）-m=4a+m，
可得|PQ|=4a，
由双曲线的定义，可得|F₂Q|=|F₁Q|-2a=m+2a，
由∠F₁PF₂=120°，可得∠QPF₂=60°，
即有△QPF₂为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，
在△F₁PF₂中，由余弦定理可得
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos120°，
即为4c²=4a²+16a²-2•2a•4a•（-$\frac{1}{2}$），
即有4c²=28a²，即c=$\sqrt{7}$a，
可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{7}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，同时考查等差数列的中项的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．