Question

5．P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）上的一点，F₁，F₂是焦点，PF₁与渐近线平行，∠F₁PF₂=90°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，根据直线平行的关系结合直角三角形的边角关系，求出a，c的关系即可得到结论．

解答 解：双曲线的一条渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，
则$tanα=\frac{b}{a}$，∴$sinα=\frac{b}{c}$，$cosα=\frac{a}{c}$，
∴$sinβ=cosα=\frac{a}{c}$，$\frac{{|{P{F_2}}|-|{P{F_1}}|}}{sinα-sinβ}=\frac{{|{{F_1}{F_2}}|}}{{sin∠{F_1}P{F_2}}}$，
∴$\frac{2a}{{\frac{b}{c}-\frac{a}{c}}}=\frac{2c}{1}$，
∴2a=b，c²-a²=4a²，即c²=5a²，c=$\sqrt{5}$a，
∴$e=\sqrt{5}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，根据直线平行和直角三角形的边角关系建立方程是解决本题的关键．考查运算能力．