Question

16．已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为1．

Answer 1

分析 设底面边长为a，用a表示出棱柱的高，得出体积关于a的函数，利用导数求出此函数的最大值．

解答 解过球心O作OD⊥平面ABC，则D为正三角形的中心，连结OA，则OA=1．
设三棱柱的底面边长为a，则AD=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}a}{2}$=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$．（0$＜a＜\sqrt{3}$）．
∴OD=$\sqrt{O{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∴棱柱的高DD′=2OD′=2$\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$．
∴棱柱的体积V=S_△ABC•DD′=$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2\sqrt{1-\frac{{a}^{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3{a}^{4}-{a}^{6}}}{2}$．
令f（a）=3a⁴-a⁶．
则f′（a）=12a³-6a⁵=6a³（2-a²），令f′（a）=0得a=$\sqrt{2}$或a=0（舍）或a=-$\sqrt{2}$（舍）．
当0＜a$＜\sqrt{2}$时，f′（a）＞0，当$\sqrt{2}$$＜a＜\sqrt{3}$时，f′（a）＜0．
∴当a=$\sqrt{2}$时，f（a）取得最大值f（$\sqrt{2}$）=4，
∴当a=$\sqrt{2}$时，V=$\frac{\sqrt{3{a}^{4}-{a}^{6}}}{2}$取得最大值1．
故答案为1．

点评 本题考查了棱柱与外接球的关系，导数与函数最值的关系，属于中档题．