Question

11．已知双曲线C；$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+8}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），点P是抛物线y²=12x上的一动点，且P到双曲线C的焦点F₁（0，c）的距离与直线x=-3的距离之和的最小值为5，则双曲线C的实轴长为 （　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 8
• D． 4$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义转化为P到准线x=-3的距离即为PF的距离，当F₁，P，F共线时，|PF₁|+|PF|取得最小值|F₁F|=5，求得c=4，再由a，b，c的关系，可得b=2，计算即可得到实轴长．

解答 解：抛物线y²=12x的焦点F为（3，0），准线为x=-3，
由抛物线的定义可得P到准线x=-3的距离即为PF的距离，
由题意可得P到双曲线C的焦点F₁（0，c）的距离与直线x=-3的距离之和，
即为|PF₁|+|PF|，
当F₁，P，F共线时，|PF₁|+|PF|取得最小值|F₁F|=5，
即有$\sqrt{9+{c}^{2}}$=5，解得c=4，
由双曲线C；$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}+8}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0），可得
b²+8+b²=c²=16，解得b=2，
可得双曲线C的实轴长为2$\sqrt{{b}^{2}+8}$=2$\sqrt{4+8}$=4$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的实轴长的求法，注意运用抛物线的定义，结合三点共线取得最小值，考查双曲线的方程和性质，属于中档题．