Question

19．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABFE是平行四边形，DF∥BC，BC=BF=2DF=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，点E在底面ABC的射影为BC的中点O．
（1）证明：ED⊥平面EBC；
（2）求多面体ABCDEF的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AO，DO，EO，利用线面垂直的判定定理证明：AO⊥平面EBC，利用四边形ABFE是平行四边形，证明ED∥AO，即可证明ED⊥平面EBC；
（2）利用V=V_E-ABC+V_E-BCDF求多面体ABCDEF的体积．

解答 （1）证明：连接AO，DO，EO，则
∵AB=AC，O为BC的中点，
∴AO⊥BC，
∵点E在底面ABC的射影为BC的中点O，
∴EO⊥平面ABC，
∵AO?平面ABC，∴EO⊥AO，
∵EO∩BC=O，AO⊥BC，EO⊥AO，
∴AO⊥平面EBC．
∵BC=2DF，O为BC的中点，
∴DF=BO
∵DF∥BC，
∴四边形DFBO是平行四边形，
∴BF∥DO，BF=DO
∵四边形ABFE是平行四边形，
∴BF∥AE，BF=AE，
∴BF∥DO，BF=DO，
∴四边形AEDO是平行四边形，
∴ED∥AO，AO⊥平面EBC，
∴ED⊥平面EBC；
（2）解：∵BC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，AB=AC，
∴AO=2，
∴DE=2．
∵DO=FB=2$\sqrt{2}$，
∴EO=2．
取DO的中点M，则EM⊥DO．
由（1）可知BO⊥平面EDO，∴BO⊥EM，
∵DO∩BO=O，
∴EM⊥平面DCDF，且EM=$\sqrt{2}$．
∴多面体ABCDEF的体积V=V_E-ABC+V_E-BCDF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}×2$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\sqrt{2}+2\sqrt{2}）×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定，考查多面体ABCDEF的体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．