Question

17．已知抛物线y²=2x的弦AB的中点坐标为（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则|AB|=（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{2}+1$
• C． $\sqrt{3}+1$
• D． 4

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，两式相减可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂），由弦AB的中点坐标为（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），从而可求k_AB=$\sqrt{2}$，得到直线方程，代入抛物线方程，求出x，即可求出|AB|．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2x₁，y₂²=2x₂．
两式相减可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2（x₁-x₂）
由弦AB的中点坐标为（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得y₁+y₂=$\sqrt{2}$
∴k_AB=$\sqrt{2}$，
∴直线AB的方程为y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$（x-1），即y=$\sqrt{2}$x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
代入y²=2x可得x²-2x+$\frac{1}{4}$=0，∴x=1±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{3}$=3．
故选：A．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的相交关系的应用，解答本题的方法：点差法要求考生熟练掌握．