Question

12．知直线l：y=-（x+b）与抛物线y²=2x交于点A、B，且以AB为直径的圆与x轴相切，则b=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 联立直线l：y=-（x+b）与抛物线y²=2x，得y²+2y+2b=0．由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出b的值．

解答 解：联立直线l：y=-（x+b）与抛物线y²=2x，
消x并化简整理得y²+2y+2b=0．
依题意应有△=4-8b＞0，解得b＜$\frac{1}{2}$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=-2，y₁y₂=2b，
设圆心Q（x₀，y₀），则应有y₀=-1．
∵以AB为直径的圆与x轴相切，
得到圆半径为r=|y₀|=1，
又|AB|=$\sqrt{2}•$|y₁-y₂|=$\sqrt{2}•\sqrt{4-8b}$．
∴$\sqrt{2}•\sqrt{4-8b}$=2，解得b=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，属于中档题．