Question

2．已知数列{a_n}满足a_n+2a_n+1=7×3^n-1，且a₁=1，则a₃=9，通项a_n=3^n-1（用n表示）．

Answer 1

分析 a_n+2a_n+1=7×3^n-1，且a₁=1，分别令n=1，2，可得a₂，a₃．由a_n+2a_n+1=7×3^n-1，变形为：a_n+1-3ⁿ=-$\frac{1}{2}（{a}_{n}-{3}^{n-1}）$，由a₁=1，可得a₂=3，同理可得a₃=3²，依次递推即可得出．

解答 解：∵a_n+2a_n+1=7×3^n-1，且a₁=1，
∴1+2a₂=7，a₂+2a₃=7×3，
解得a₂=3，a₃=9．
由a_n+2a_n+1=7×3^n-1，变形为：a_n+1-3ⁿ=-$\frac{1}{2}（{a}_{n}-{3}^{n-1}）$，
∴由a₁=1，可得a₂=3，同理可得a₃=3²，
依次递推可得：a_n=3^n-1．
故答案分别为：9；3^n-1．

点评 本题考查了递推关系、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．