Question

17．如图，AB是圆O的一条直径，弦CD垂直于AB，垂足为点G，E是劣弧$\widehat{BD}$上一点，点E处的切线与CD的延长线交于点P，连接AE，交CD于点F．
（1）求证：PE=PF；
（2）求证：DF•CF=2GF•PF．

Answer 1

分析 （1）利用切线的性质，弦CD垂直于AB，证明∠PEF=∠PFE，即可证明PE=PF；
（2）由△PEF∽△OEB，得出$\frac{PE}{OE}=\frac{EF}{EB}$．△AGF∽△AEB，得出$\frac{AF}{AB}$=$\frac{GF}{EB}$，再将两式相除，把AF•EF=DF•CF，PE=PF，AB=2OE代入即可证明DF•CF=2GF•PF．

解答 证明：（1）连接OE，则OE⊥EP，∠OAE=∠OEA．
∵弦CD垂直于AB，
∴∠AGF=90°，
∴∠AFG=∠PEF，
∵∠AFG=∠PFE，
∴∠PEF=∠PFE，
∴PE=PF；
（2）连接BE，则
∵△PEF∽△OEB，∴$\frac{PE}{OE}=\frac{EF}{EB}$．①
∵△AGF∽△AEB，∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{GF}{EB}$．②
∵AB=2OE，
∴①÷②可得$\frac{2PE}{AF}$=$\frac{EF}{GF}$，
∴AF•EF=2PE•GF，
∵AF•EF=DF•CF，PE=PF，
∴DF•CF=2GF•PF．

点评 本题考查相似三角形的判定及性质，考查切线的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定难度，关键是对数字2的处理．