Question

14．在三棱锥P-ABC内任取一点Q，使V_Q-ABC＜$\frac{1}{3}{V_{P-ABC}}$的概率等于$\frac{19}{27}$．

Answer 1

分析 取高线的$\frac{1}{3}$点，过该点作平行于底的平面，若V_Q-ABC＜$\frac{1}{3}{V_{P-ABC}}$，则Q点在平面DEF与底面ABC之间，所以概率为棱台与原棱锥体积之比，用相似比计算即可．

解答 解：作出P在底面△ABC的射影为O
若V_Q-ABC=$\frac{1}{3}$V_P-ABC，则高OQ=$\frac{1}{3}$PO，
则V_Q-ABC＜$\frac{1}{3}{V_{P-ABC}}$的点Q位于在三棱锥V_P-ABC的截面DEF以下的棱台内，
则对应的概率P=1-（$\frac{2}{3}$）³=$\frac{19}{27}$，
故答案为：$\frac{19}{27}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的体积关系是解决本题的关键，根据比例关系，得到面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方．