Question

4．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设几何体F-ABCD、F-BCE的体积分别为V₁、V₂，求V₁：V₂的值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直可得AD⊥平面ABEF，从而得到AD⊥BF，由直径的性质得BF⊥AF，故得出BF⊥平面ADF，从而得出平面DAF⊥平面CBF；
（2）V_F-BCE=V_C-BEF，设AD=a，则可用a表示出V₁，V₂．从而得出体积比．

解答 证明：（1）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，AD⊥AB，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面ABEF，∵BF?平面ABE，
∴AD⊥BF，
∵AB是圆O的直径，
∴BF⊥AF，又AD?平面ADF，AF?平面ADF，AD∩AF=A，
∴BF⊥平面ADF，∵BF?平面BCF，
∴平面DAF⊥平面CBF．
（2）．连结OE，OF，则OE=OF=EF=1，
∴△AOF，△OEF，△BOE是等边三角形，
过F作FM⊥AB于M，则FM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，FM⊥平面ABCD，
设AD=BC=a，
则V₁=V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{矩形ABCD}•FM$=$\frac{1}{3}×2a×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$．
V₂=V_F-BCE=V_C-BEF=$\frac{1}{3}{S}_{△BEF}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×a$=$\frac{\sqrt{3}a}{12}$．
∴V₁：V₂=$\frac{\sqrt{3}a}{3}$：$\frac{\sqrt{3}a}{12}$=4：1．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．