Question

9．已知A、B、C、D四点的坐标分别是A（3，0），B（0，3），C（sinα，cosα），D（1，1）．
（Ⅰ）若|AC|=|BC|，求$\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值；
（Ⅱ）若|CD|²=$\frac{5}{3}$，求$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用线段长度相等，建立三角方程，即可求tanα=1，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求值得解．
（Ⅱ）利用|CD|²=$\frac{5}{3}$，求出sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，从而可得sinαcosα的值，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意，∵|AC|=|BC|，
∴|AC|²=|BC|²，即（sinα-3）²+cos²α=sin²α+（cosα-3）²…（2分）
化简得sinα=cosα，
∴tanα=1，…（4分）
∵tanα=1，
∴$\begin{array}{l}\frac{4sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}=\frac{4tanα-2}{5+3tanα}…（5分）\\=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}…（6分）\end{array}$
（Ⅱ）由|CD|²=$\frac{5}{3}$，得：（sinα-1）²+（cosα-1）²=$\frac{5}{3}$，
化简得：sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，…（8分）
于是：sinαcosα=$\frac{1}{2}$[（sinα+cosα）²-1]=-$\frac{5}{18}$．…（10分）
$\begin{array}{l}∴\frac{{{{sin}^2}α+sinαcosα}}{1+tanα}=\frac{sinα（sinα+cosα）}{{\frac{cosα+sinα}{cosα}}}\\=sinαcosα…（11分）\\=-\frac{5}{18}…（12分）\end{array}$

点评 本题主要考查向量的基本运算以及向量和三角函数的综合运算，属于中档题．