Question

18．已知cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{1}{9}$，sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{2}{3}$，且0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，则sin$\frac{α+β}{2}$=$\frac{22}{27}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-$\frac{β}{2}$）和cos（$\frac{α}{2}$-β）的值，再利用两角差的正弦公式求得sin$\frac{α+β}{2}$的值．

解答 解：∵cos（α-$\frac{β}{2}$）=-$\frac{1}{9}$，sin（$\frac{α}{2}$-β）=$\frac{2}{3}$，且0＜β＜$\frac{π}{2}$＜α＜π，
∴α-$\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{2}$，π），sin（α-$\frac{β}{2}$）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α-\frac{β}{2}）}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$； $\frac{α}{2}$-β∈（0，$\frac{π}{2}$），cos（$\frac{α}{2}$-β）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{α}{2}-β）}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则sin$\frac{α+β}{2}$=sin[（α-$\frac{β}{2}$）-（ $\frac{α}{2}$-β）]=sin（α-$\frac{β}{2}$）cos（ $\frac{α}{2}$-β）-cos（α-$\frac{β}{2}$）sin（$\frac{α}{2}$-β）
=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$•$\frac{\sqrt{5}}{3}$+$\frac{1}{9}$•$\frac{2}{3}$=$\frac{22}{27}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式的应用，属于基础题．