Question

3．已知方程x²cosθ+y²=1．
（1）当θ=$\frac{2}{3}$π时，求该曲线的离心率；
（2）当θ在[0，π）范围内变化时，判断方程表示曲线的形状如何变化？

Answer 1

分析 （1）当θ=$\frac{2}{3}$π时，cosθ=-$\frac{1}{2}$，方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，即可求该曲线的离心率；
（2）根据cosθ符号，对角θ分类进行讨论，由直线、圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状．

解答 解：（1）当θ=$\frac{2}{3}$π时，cosθ=-$\frac{1}{2}$，方程为y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，
∴$c=\sqrt{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
（2）由题意可得：
①当0＜θ＜$\frac{π}{2}$时，方程x²cosθ+y²=1可以化简为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}$+y²=1．
并且有：0＜cosθ＜1，则$\frac{1}{cosθ}$＞1，所以方程x²cosθ+y²=1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；
②当θ=$\frac{π}{2}$时，cosθ=0，方程为x²=1，得x=±1表示与y轴平行的两条直线；
③当$\frac{π}{2}$＜θ＜π时，方程x²cosθ+y²=1可以化简为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{cosθ}}$+y²=1．
并且有：cosθ＜0，方程x²cosθ+y²=1表示焦点在y轴上的双曲线；
④θ=0时，cosθ=1，方程x²cosθ+y²=1可以化简为：x²+y²=1表示以原点为圆心，1为半径的圆．

点评 本题考查了方程含有参数时讨论表示的曲线问题，需要根据系数的符号进行分类讨论，分别再由直线、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状，考查了分类讨论思想．